Геометрия пространства: три аксиомы, из которых вырастает всё остальное — и объём, который можно потрогать ползунком.
Листайте стрелками ← → · фигуры можно вращать мышью
В планиметрии основные фигуры — точка и прямая. В стереометрии к ним добавляется третья: плоскость. Плоскость безгранична, но рисуют её как параллелограмм.
Точки — A, B, C; прямые — a, b или AB; плоскости — α, β, γ или по трём точкам: ABC.
A ∈ α — точка лежит в плоскости · a ⊂ α — прямая лежит в плоскости · M ∉ α — точка не принадлежит плоскости.
Аксиомы не доказывают — на них опираются. Дальше каждое утверждение курса сводится к этим трём.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
1 — берём на прямой a две точки P, Q;
2 — точки P, Q, M не на одной прямой → по А1 через них проходит
единственная плоскость α;
3 — P ∈ α и Q ∈ α → по А2 вся прямая
a ⊂ α.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Есть ровно одна общая точка. Лежат в одной плоскости.
Лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Общих точек нет, и никакая плоскость не содержит их обе. Такого случая в планиметрии просто не существует — это чисто пространственная история.
Прямая лежит в плоскости · пересекает её в одной точке · параллельна ей (общих точек нет).
Если прямая a не лежит в плоскости α и параллельна какой-нибудь прямой b ⊂ α, то a ∥ α.
Если бы a пересекала α, то общая точка лежала бы и в плоскости (a, b), и в α — то есть на прямой b. Но a ∥ b — противоречие.
1 — объём положителен;
2 — равные тела имеют равные объёмы;
3 — объём тела равен сумме объёмов его частей.
Если у двух тел одинаковая высота и равные площади сечений на каждом уровне — их объёмы равны. Сдвиньте слои: башня наклоняется, а объём не меняется ни на каплю.
V=Sосн·h
Наклонная призма и прямая призма с тем же основанием и той же высотой равновелики.
Основание S = a·b — это «этаж» из кубиков. Высота h говорит, сколько таких этажей поставили друг на друга.
Sосн=12,0 → V=S·h
60,0 см³
Основание может быть каким угодно многоугольником — формула та же: V = S·h.
Треугольную призму ABCA₁B₁C₁ можно разрезать ровно на три пирамиды, у которых попарно равны основания и высоты — значит, равны объёмы.
3Vпир=S·h → V=⅓ S·h
При S = 6 см², h = 5 см: призма — 30 см³, каждая пирамида — 10 см³.
Любую пирамиду разбивают на треугольные — поэтому V = ⅓S·h верна всегда, включая конус как «пирамиду с круглым основанием».
Vц=πr2h · V=⅓πr2h
| Тело | Объём |
|---|---|
| Призма, цилиндр | V = S·h |
| Пирамида, конус | V = ⅓ S·h |
| Шар | V = 4⁄3 πR³ |
Три аксиомы → следствия → расположение прямых и плоскостей → измерение. Весь курс держится на этой цепочке.