Повторяем векторы на плоскости, разбираемся, что такое скалярное произведение и зачем оно нужно, и заглядываем в пространство.
Направленный отрезок: важно, где начало, а где конец. Обозначают AB или a.
Из координат конца вычитаем координаты начала: AB{x₂ − x₁; y₂ − y₁}.
|a|=√x² + y²
Сейчас: 5
Правило треугольника или параллелограмма. В координатах складываем соответствующие координаты.
Отложим векторы от одной точки: a − b идёт от конца b к концу a. Координаты вычитаются.
Длина k·a равна |k|·|a|; при k < 0 направление меняется на противоположное.
Отложим a и b от одной точки O. Угол между получившимися лучами и есть угол между векторами.
0° ≤ φ ≤ 180°. При 0° векторы сонаправлены, при 180° направлены противоположно, при 90° перпендикулярны: a ⊥ b.
Сначала параллельно переносим один вектор так, чтобы начала совпали, и только потом измеряем угол.
Произведение длин векторов на косинус угла между ними:
a·b=|a|·|b|·cos φ
Не вектор, а обычное число (скаляр). Отсюда и название. Обозначают a·b или (a, b).
4 · 3 · cos 60°
a·b = 6,00
a·b = |a| · пр, где пр = |b|·cos φ — «тень» вектора b на прямой a.
φ острый ⇒ больше нуля; φ = 90° ⇒ ноль; φ тупой ⇒ меньше нуля.
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a·b = 0.
Сейчас: 0
Для a{x₁; y₁} и b{x₂; y₂}:
a·b=x₁x₂+y₁y₂
i·i = j·j = 1, а i·j = 0, так как они перпендикулярны. Раскрываем скобки в (x₁i + y₁j)·(x₂i + y₂j) — остаются только два слагаемых.
Через длины и косинус:
cos φ=x₁x₂ + y₁y₂√x₁² + y₁² · √x₂² + y₂²
Скалярное произведение → длины → косинус → угол.
4) φ ≈ 45°
| Свойство | Запись |
|---|---|
| Переместительное | a·b = b·a |
| Распределительное | (a + b)·c = a·c + b·c |
| Число выносится | (ka)·b = k(a·b) |
| Скалярный квадрат | a·a = |a|² |
| Перпендикулярность | a ⊥ b ⇔ a·b = 0 |
При каком m векторы a{2; −3} и b{m; 2} перпендикулярны? Подбери ползунком, потом проверь вычислением.
A = F·s = F·s·cos α. Тянем санки под углом: работу совершает только часть силы вдоль пути.
Углы, перпендикулярность, длины (|a|² = a·a) находятся чистым вычислением по координатам.
Яркость грани — скалярное произведение нормали и направления на источник света. Так освещены 3D-фигуры в этой презентации.
Студента описывают оценками по предметам, текст — частотами слов. На этом построены рекомендации и поиск по смыслу.
cos φ=a·b|a|·|b|
Ближе к 1 — объекты похожее.
Добавляются ось Oz и третий единичный вектор k: a = xi + yj + zk, то есть a{x; y; z}.
|a|=√x² + y² + z²
Это диагональ «коробки» со сторонами |x|, |y|, |z|.
|a| =
a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
Определение через длины и косинус, формула угла и признак перпендикулярности не меняются: просто добавляется третье слагаемое.
φ ≈
| Что | Плоскость | Пространство |
|---|---|---|
| Координаты | {x; y} | {x; y; z} |
| Длина | √x² + y² | √x² + y² + z² |
| Скалярное | x₁x₂ + y₁y₂ | x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ |
| Перпендикулярность | a·b = 0 в обоих случаях | |
| Коллинеарность | x₁ : x₂ = y₁ : y₂ | x₁ : x₂ = y₁ : y₂ = z₁ : z₂ |
Определения, правила сложения и все свойства скалярного произведения.
Три вектора компланарны, если лежат в одной плоскости. На плоскости — всегда.