Откуда она берётся: задача о скорости и задача о касательной приводят к одному и тому же пределу.
g(x)=x²−4x−2
Что происходит со значениями, когда x → 2?
g(2) = 0/0 — неопределённость. На графике эта точка «выколота».
limx→2(x+2)=4
Такая неопределённость встретится нам сегодня ещё не раз.
Тело падает по закону s(t) = 5t². Спидометра нет, есть только формула пути. Какова скорость ровно в момент t = 2 с?
Дана парабола y = x². Как провести к ней касательную в точке (1; 1) и найти её наклон?
Что у них общего? Держим вопрос в голове: ответ появится, когда решим обе задачи.
s(t)=5t²
s — путь в метрах, t — время в секундах.
vср=ΔsΔt=s(2+Δt)−s(2)Δt
Δt = 1 с, Δs = 25 м
Мгновенная скорость — предел средней скорости при Δt → 0. На графике секущая превращается в касательную с наклоном 20.
Прямая, имеющая с кривой ровно одну общую точку. Для окружности работает.
У параболы вертикальная прямая имеет одну общую точку, но не касается. У кубической параболы касательная пересекает график ещё раз.
Его подскажет секущая и предельный переход.
A(1; 1) закреплена, B(1 + Δx; (1 + Δx)²) движется по параболе.
k=(1+Δx)²−1Δx=2+Δx
При Δx → 0 секущая поворачивается вокруг A, и k → 2. Предельная прямая y = 2x − 1 — касательная.
| Скорость | Касательная | |
|---|---|---|
| Дано | закон движения s(t) | график y = f(x) |
| Приращения | Δt, Δs | Δx, Δy |
| Отношение | средняя скорость Δs/Δt | наклон секущей Δy/Δx |
| Предел | мгновенная скорость | наклон касательной |
В обеих задачах ищем предел отношения приращения функции к приращению аргумента. У этого предела есть имя — производная.
Δx=x−x₀
На сколько сдвинули x. Бывает и отрицательным.
Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)
Пример. f(x) = x², x₀ = 3, Δx = 0,1:
Δy = 3,1² − 3² = 9,61 − 9 = 0,61
ΔyΔx=tg α=kсек
Разностное отношение — тангенс угла наклона секущей к оси Ox.
угол α ≈ 29°
Средняя скорость изменения функции на [x₀; x₀ + Δx]: на сколько в среднем растёт y на единицу x.
f′(x₀)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x₀+Δx)−f(x₀)Δx
Производная функции f в точке x₀ — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0, если этот предел существует.
f′(x₀), y′, dy/dx. Читается «эф штрих». Функцию, у которой производная есть, называют дифференцируемой.
v(t) = s′(t) — скорость есть производная пути по времени. Для s = 5t²: v(2) = 20 м/с.
k = tg α = f′(x₀) — угловой коэффициент касательной. Для y = x² в точке 1: k = 2.
Главное — шаг 3. Пока Δx стоит в знаменателе, подставить 0 нельзя (снова 0/0). Сначала сокращаем, потом переходим к пределу.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Проверка на графике: двигайте точку — наклон касательной всегда равен 3x₀².
ΔyΔx=|0+Δx|−|0|Δx=|Δx|Δx
Справа, Δx > 0: отношение равно 1
Слева, Δx < 0: отношение равно −1
Односторонние пределы разные, общего предела нет — производной в нуле нет. На графике излом: единственную касательную провести нельзя.
Точка движется по закону s(t) = 3t² + 2 (м). Найдите мгновенную скорость при t = 4 с.
Найдите угловой коэффициент касательной к y = x² в точке x₀ = −1 и уравнение касательной.
Найдите по определению производную функции f(x) = 2x² − x.
Δx=x−x₀
Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)
Их отношение — наклон секущей и средняя скорость.
f′(x₀)=limΔx→0ΔyΔx
Находим за 4 шага: приращение, Δy, отношение, предел. Предела может и не быть, как у |x| в нуле.
Физический: мгновенная скорость, v = s′(t).
Геометрический: угловой коэффициент касательной, k = f′(x₀).
Дальше: считать предел каждый раз долго. Следующая тема — таблица производных и правила дифференцирования. Уже знаем две строки: (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x².