Деление уголком, теорема Безу и схема Горнера — и как с их помощью решать уравнения и неравенства высоких степеней на ЕГЭ.
Для уравнений 3-й и 4-й степени нет школьной формулы, а на ЕГЭ они встречаются постоянно.
Найти один корень → поделить → степень стала на 1 меньше. Повторять до квадратного уравнения.
Уголок — что такое деление. Безу — где искать корень. Горнер — как быстро поделить.
Производная многочлена 4-й степени — кубический многочлен. Точки максимума и минимума — корни уравнения y′ = 0.
y′ = 12(x³ − 2x² − 5x + 6)
Что помогает: подобрать корень среди делителей 6, поделить на (x − 1) по Горнеру, остаток — квадратное уравнение.
После замены t = 2ˣ, t = sin x или t = log₂x часто получается кубическое уравнение.
t³ + t² − 10t + 8 = 0
Что помогает: теорема Безу подсказывает кандидатов (делители 8), Горнер понижает степень до квадратной.
Метод интервалов требует разложить многочлен на множители. Кубический многочлен без деления не разложить.
t³ − 7t + 6 ≥ 0
Что помогает: сумма коэффициентов равна 0 ⇒ t = 1 — корень; делим и раскладываем до конца.
Часто у уравнения есть корень, не зависящий от параметра. Деление на (x − x₀) оставляет квадратный трёхчлен, который исследовать уже легко.
x³ − (a + 2)x² + (2a + 1)x − a = 0
Что помогает: x = 1 — корень при любом a; Горнер работает и с буквенными коэффициентами.
aₙxⁿ + … + a₁x + a₀
Слагаемые записаны по убыванию степеней. Числа aₖ — коэффициенты.
n — степень, aₙ ≠ 0 — старший коэффициент, a₀ — свободный член, a₀ = P(0).
Число a — корень, если P(a) = 0. На графике это точка пересечения с осью Ox.
Разделить 47 на 5 — значит найти частное и остаток: 47 = 5 · 9 + 2, причём остаток меньше делителя.
P = S · Q + R
Условие: степень остатка меньше степени делителя. При делении на (x − a) остаток — просто число.
Если R = 0, многочлен разложен на множители: P = S · Q. Именно это нужно для уравнений.
Остаток обязан быть меньше делителя: 0 ≤ 2 < 5. Если бы вышло 47 = 5 · 8 + 7, деление не закончено — 7 ещё делится на 5.
Здесь степень остатка 0 меньше степени делителя 1: остаток — число, дальше делить нельзя. Степень частного: 3 − 1 = 2.
Остаток 0 — многочлен делится нацело. Сразу видно: при x = 1 правая часть обнуляется, значит x = 1 — корень x³ − 1. Эту связь «корень ⇔ делится на (x − a)» и даёт теорема Безу.
Старший член делимого — на старший член делителя. Это член частного.
Член частного × делитель, записать под своими степенями, вычесть.
Пока степень разности не меньше степени делителя. Последняя разность — остаток.
x³ − 8 записываем как x³ + 0x² + 0x − 8. Иначе столбцы степеней съедут.
Алгоритм тот же. Остаток — всё, что имеет степень меньше двух, например 3x − 1.
Вводите коэффициенты через пробел, от старшего к младшему, с нулями: 1 0 0 −8 — это x³ − 8.
Степень частного = степень делимого − степень делителя. Шагов на один больше: при делении 3-й степени на 1-ю — ровно 3 шага.
Делитель × частное + остаток = исходный многочлен.
При делении на (x − a) остаток обязан равняться P(a). Подставьте a — и сразу увидите, верен ли ответ.
Делим x³ − 8 на x − 2. Первый шаг: вычитаем x³ − 2x².
x³ − 8 − (x³ − 2x²) = −10x²
Столбец для x² не оставили, и −8 «сложили» с 2x².
x³ + 0x² + 0x − 8 − (x³ − 2x²) = 2x² + 0x − 8
У каждой степени свой столбец.
Делим 2x³ − 3x² − 11x + 6 на x − 3. Вычитаем 2x³ − 6x².
−3x² − 6x² = −9x²
Забыли, что вычитаем отрицательное число.
−3x² − (−6x²) = 3x²
Вычитаемую строку мысленно берите в скобки и меняйте все знаки.
Делим на x² − x + 2, после нескольких шагов получили 3x − 1.
3x : x² = 3/x …
Продолжили делить — в частном появилась дробь, это уже не многочлен.
степень (3x − 1) = 1 < 2
Степень меньше степени делителя: 3x − 1 — это остаток, деление закончено.
Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x − a) равен P(a).
P(x) = (x − a)·Q(x) + r
Остаток r — число (степень меньше 1). Подставим x = a: первое слагаемое равно нулю, остаётся P(a) = r.
Чтобы узнать остаток или проверить корень, делить не нужно — достаточно подставить.
P(a) = 0 тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x − a). То есть P(x) = (x − a)·Q(x).
P(1) — сумма всех коэффициентов. P(−1) — та же сумма, но коэффициенты при нечётных степенях берутся с обратным знаком.
Остаток от деления x²⁰²⁶ + 2x + 3 на x + 1 равен P(−1) = 1 − 2 + 3 = 2.
Если коэффициенты целые, то целый корень — делитель свободного члена a₀.
Рациональный корень имеет вид p/q, где p — делитель a₀, q — делитель старшего коэффициента aₙ.
Сначала ±1 (в уме), потом ±2, ±3… Кандидата проверяйте Горнером: он сразу даёт и частное.
P(a) = ((2a − 3)a − 11)a + 6
Подстановка — это цепочка «умножь и прибавь».
Снеси старший коэффициент. Дальше: последнее × a + следующий — до конца строки.
Последнее число — остаток, то есть P(a). Остальные — коэффициенты частного, его степень на 1 меньше.
Коэффициенты через пробел, от старшего к младшему, пропуски — нулями. Дроби — через косую черту: 1/2.
x + 2 = x − (−2), поэтому a = −2. Знак у a всегда противоположен знаку в скобке.
Делим на x − 1/2 по Горнеру, а потом коэффициенты частного делим на 2: 2x − 1 = 2(x − 1/2).
Если x₁, …, xₖ — различные корни, то P(x) делится на произведение (x − x₁)…(x − xₖ).
Нашли n корней у многочлена степени n — разложение готово: P = aₙ(x − x₁)…(x − xₙ).
Если p/q — корень, то P(x) делится на (qx − p), и частное — с целыми коэффициентами.
P(x) = x⁴ + x³ − 7x² − x + 6. В уме: P(1) = 1 + 1 − 7 − 1 + 6 = 0 и P(−1) = 1 − 1 − 7 + 1 + 6 = 0. Значит, P делится на (x − 1)(x + 1) = x² − 1 — делим уголком сразу на него:
P(x) = (x² − 1)(x² + x − 6) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 3)
P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 — степень 3. На слайде «Где искать корни» нашли три корня: −2; 1/2; 3.
Старший коэффициент 2 спрятали в скобку с дробным корнем. Четвёртого корня у многочлена 3-й степени нет — перебор можно заканчивать.
P(x) = 3x³ − 4x² − 5x + 2. Кандидаты: ±1, ±2, ±1/3, ±2/3. Проверим x = 1/3:
Частное 3x² − 3x − 6 = 3(x − 2)(x + 1). Тройку переносим в скобку с корнем: 3(x − 1/3) = 3x − 1.
P(x) = (3x − 1)(x − 2)(x + 1)
Нашли корень — поделили. С частным поступаем так же; новую строку Горнера пишем под предыдущей.
Проверяйте и уже найденный корень: у (x − 1)²(x + 2) единица — корень и частного тоже.
Дошли до квадратного трёхчлена — дальше дискриминант или теорема Виета.
В (x − 1)³(x + 2) корень 1 встречается трижды — это корень кратности 3.
После деления снова проверяйте тот же корень: если сумма коэффициентов частного опять 0, делим на (x − 1) ещё раз.
В методе интервалов при корне чётной кратности знак не меняется. Потеряли кратность — ошибка в ответе № 15.
6x³ − 11x² + 6x − 1
Разложите на множители с целыми коэффициентами.
Старший коэффициент 6, поэтому корни могут быть дробными: p/q, p | 1, q | 6.
Множитель 6 раскладываем как 2 · 3 и прячем в скобки с дробными корнями.
Нажимайте «Шаг». Перед каждым нажатием попробуйте сделать шаг сами.
±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6
Сумма коэффициентов 6 − 11 + 6 − 1 = 0 ⇒ x = 1 — корень.
Частное: 6x² − 5x + 1.
D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/12 ⇒ x = 1/2, x = 1/3
6(x − 1)(x − 1/2)(x − 1/3) = (x − 1)(2x − 1)(3x − 1)
Знаем корень a — значит, в разложении есть (x − a). Расщепляем слагаемые так, чтобы из каждой пары он выносился.
Многочлен короткий, степень 3–4, корень «хороший». Запись компактна и понятна проверяющему.
Горнер обязан дать те же коэффициенты частного — это надёжная самопроверка.
Решите уравнение x³ − 2x + 1 = 0.
Сумма коэффициентов 1 − 2 + 1 = 0 ⇒ x = 1, в разложении есть (x − 1).
x³ − x² + x² − x − x + 1
Добавили и вычли x², а −2x разбили на −x − x.
x²(x − 1) + x(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x² + x − 1)
Те же коэффициенты: 1, 1, −1.
x² + x − 1 = 0 ⇒ x = (−1 ± √5)/2. Ответ: 1; (−1 ± √5)/2.
Составляет список кандидатов p/q, проверяет их Горнером и делит, пока находятся корни.
1 0 −5 0 4 (это x⁴ − 5x² + 4), 1 0 −3 2, 4 0 −13 0 9. Сначала разложите сами, потом сверьтесь.
Находятся только рациональные корни. Если их нет — нужна другая идея: замена, группировка.
8ˣ + 4ˣ − 10·2ˣ + 8 = 0
Решите уравнение.
8ˣ = (2ˣ)³, 4ˣ = (2ˣ)². Замена t = 2ˣ даёт кубическое уравнение.
t = 2ˣ > 0 — отрицательный корень по t нужно отбросить, иначе потеряете балл.
Нажимайте «Шаг». Перед каждым нажатием попробуйте сделать шаг сами.
t = 2ˣ, t > 0: t³ + t² − 10t + 8 = 0
Кандидаты — делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8. Сумма коэффициентов 1 + 1 − 10 + 8 = 0, значит t = 1 — корень.
Частное: t² + 2t − 8, т. е. (t − 1)(t² + 2t − 8) = 0.
t² + 2t − 8 = 0 ⇒ t = 2 или t = −4
2ˣ = 1 ⇒ x = 0; 2ˣ = 2 ⇒ x = 1; 2ˣ = −4 — решений нет. Ответ: 0; 1.
(log₂x)³ − 7·log₂x + 6 ≥ 0
Решите неравенство.
Замена t = log₂x. Для метода интервалов многочлен нужно разложить на множители — тут и нужно деление.
ОДЗ: x > 0. Основание 2 > 1, поэтому при обратном переходе знаки неравенств сохраняются.
Нажимайте «Шаг». Перед каждым нажатием попробуйте сделать шаг сами.
t = log₂x: t³ − 7t + 6 ≥ 0
Сумма коэффициентов 1 + 0 − 7 + 6 = 0 ⇒ t = 1 — корень. Не забываем ноль при t²:
(t − 1)(t² + t − 6) = (t − 1)(t − 2)(t + 3) ≥ 0
t ∈ [−3; 1] ∪ [2; +∞)
−3 ≤ log₂x ≤ 1 ⇒ 1/8 ≤ x ≤ 2; log₂x ≥ 2 ⇒ x ≥ 4.
Ответ: [1/8; 2] ∪ [4; +∞).
Найдите точку максимума функции y = 3x⁴ − 8x³ − 30x² + 72x + 5.
y′ = 12x³ − 24x² − 60x + 72 = 12(x³ − 2x² − 5x + 6)
Группировка не помогает. Делители 6: P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ⇒ x = 1.
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), корни: −2; 1; 3.
На (−2; 1) +, на (1; 3) −: в точке 1 рост сменяется убыванием. Ответ: 1.
Найдите все a, при которых уравнение x³ − (a + 2)x² + (2a + 1)x − a = 0 имеет ровно два различных корня на отрезке [0; 3].
Сумма коэффициентов 1 − (a + 2) + (2a + 1) − a = 0 при любом a ⇒ x = 1 — корень. После деления: (x − 1)²(x − a) = 0.
Корни: 1 и a. Их два различных на отрезке, если a ∈ [0; 1) ∪ (1; 3].
| 1 | −(a + 2) | 2a + 1 | −a | |
| 1 | 1 | −(a + 1) | a | 0 |
Решите задачу на черновике, введите ответ числом и нажмите «Проверить». Дробь можно ввести как 1/2 или 0,5.
Откройте решение и вернитесь к слайду с нужным методом — точки внизу ведут на любой слайд.
Решено верно: 0 из 6
| Инструмент | Суть | Когда применять |
|---|---|---|
| Деление уголком | P = S · Q + R, степень R < степени S | Деление на любой многочлен, в том числе на квадратный |
| Теорема Безу | остаток от P : (x − a) равен P(a) | Найти остаток, не выполняя деления |
| Следствие | P(a) = 0 ⇔ P = (x − a) · Q | Разложить многочлен на множители |
| Рациональные корни | x = p/q, p | a₀, q | aₙ | Составить список кандидатов в корни |
| Быстрая проверка | P(1) = сумма коэффициентов | Проверить x = ±1 в уме |
| Схема Горнера | bₖ = a · bₖ₋₁ + cₖ | Проверить кандидата и сразу поделить на (x − a) |
Замена → кандидаты в корни (делители свободного члена) → проверка и деление по Горнеру → квадратное уравнение → обратная замена и отбор корней.